e is back !

Pour tout entier naturel  \(n\) , on considère \(I_n=\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{\left(1-x\right)^{n}}{n!}\text{e}^{x}\mbox{d}x\) .

1. Calculer \(I_0\)  et \(I_1\) .

2. a. Calculer \(\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x)^n\mbox{d}x\) .
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel  \(n\) , on a \(0\leqslant I_{n}\leqslant\dfrac{\text{e}}{n+1}\) .
    c. En déduire que la suite  \(\left(I_{n}\right)\) converge vers \(0\) .

3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, \(\forall k\in\mathbb{N},\,I_{k}=\dfrac{1}{(k+1)!}+I_{k+1}\) .

4. En déduire que \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\displaystyle \sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}=\text{e}\) .